Statistik Blog: Oktober 2019

Assalamu’alaikum warahmatullahi wabarakatuh..

Hai hai hai, Sahabat Generasi Emas 2020!

Masih semangatkan, buat mencari informasi dalam rangka mencerdaskan diri?

Kali ini kita mau belajar tentang ukuran pemusatan data, ukuran letak data, dan ukuran sebaran data nih. Yuk langsung aja kita bahas!

PEMUSATAN DATA

Setiap pengukuran aritmatika yang ditujukan untuk menggambarkan suatu nilai yang mewakili nilai pusat atau nilai sentral dari suatu gugus data (himpunan pengamatan) dikenal sebagai ukuran pemusatan data (tendensi sentral). Tendensial sentral ini memiliki 3 ukuran pemusatan data yang sering digunakan, yaitu Mean (Rata-rata hitung/rata-rata aritmatika), Median, dan Mode (Modus).

Gambar diatas adalah contoh dari penggambaran pola distribusi data (variable acak kontinu) dengan posisi Mean, Median, dan Mode sesuai dengan pola distribusi data.

Setelah penjelasan singkat diatas, sekarang kita bahas satu persatu ukuran pemusatan data Mean, Median Dan Modus yuk

1. MEAN (ARITHMETIC MEAN)

Mean (rata-rata hitung/rata-rata aritmatika) merupakan metode yang paling banyak digunakan untuk menggambarkan ukuran tendensi sentral. Penentuan Mean dihitung dengan menjumlahkan semua nilai data pengamatan kemudian dibagi dengan banyaknya data. Definisi Mean dapat dinyatakan dengan persamaan untuk data Sampel dan data Populasi.

Mean data sampel dinyatakan dengan :

Sedangkan Mean untuk data populasi dinyatakan dengan :

dimana :

∑ = lambang penjumlahan semua gugus data pengamatan n = banyaknya sampel data

N = banyaknya data populasi

(dibaca "x-bar") = nilai rata-rata sampel

μ (huruf kecil Yunani dibaca “mu”) = nilai rata-rata populasi

A. Rata - rata hitung (Mean) untuk data tunggal

Contoh :

Hitunglah nilai rata-rata dari nilai ujian matematika kelas 3 SMU berikut ini : 2, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9

Jawab :

B. Mean dari data distribusi frekuensi atau dari gabungan

Distribusi Frekunsi merupakan rata-rata hitung dari data yang sudah disusun dalam bentuk tabel distribusi frekuensi yang dapat ditentukan menggunakan formula yang sama dengan formula untuk menghitung nilai rata-rata dari data yang sudah dikelompokkan, yaitu :

∑ = lambang penjumlahan semua gugus data pengamatan fi = frekuensi data ke-i

x = nilai rata-rata sampel

Contoh :

Tabel berikut ini adalah nilai ujian statistik 80 mahasiswa yang sudah disusun dalam tabel frekuensi. Berbeda dengan contoh 2, pada contoh ke-3 ini, tabel distribusi frekuensi dibuat dari data yang sudah dikelompokkan berdasarkan selang/kelas tertentu (banyak kelas = 7 dan panjang kelas = 10).

Kelas ke-	Nilai Ujian	fi
1	31 - 40	2
2	41 - 50	3
3	51 - 60	5
4	61 - 70	13
5	71 - 80	24
6	81 - 90	21
7	91 - 100	12
	Jumlah	80

Jawab :

Buat daftar tabel berikut, tentukan nilai pewakilnya (xi) dan hitung fixi.

Kelas ke-	Nilai Ujian	fi	xi	fixi
1	31 - 40	2	35.5	71.0
2	41 - 50	3	45.5	136.5
3	51 - 60	5	55.5	277.5
4	61 - 70	13	65.5	851.5
5	71 - 80	24	75.5	1812.0
6	81 - 90	21	85.5	1795.5
7	91 - 100	12	95.5	1146.0
	Jumlah	80		6090.0

¯ nilai rata-rata sampel

Catatan: Pendekatan perhitungan nilai rata-rata hitung dengan menggunakan distribusi frekuensi kurang akurat dibandingkan dengan cara perhitungan rata-rata hitung dengan menggunakan data aktualnya. Pendekatan ini seharusnya hanya digunakan apabila tidak memungkinkan untuk menghitung nilai rata-rata hitung dari sumber data aslinya.

2. MEDIAN

Median dari n pengukuran atau pengamatan x1, x2 ,..., xn adalah nilai pengamatan yang terletak di tengah gugus data setelah data tersebut diurutkan. Apabila banyaknya pengamatan (n) ganjil, median terletak tepat ditengah gugus data, sedangkan bila n genap, median diperoleh dengan cara interpolasi yaitu rata-rata dari dua data yang berada di tengah gugus data. Median sering dilambangkan dengan

(dibaca "x-tilde") apabila sumber datanya berasal dari sampel

(dibaca "μ-tilde") untuk median populasi. Prosedur untuk menentukan nilai median, pertama urutkan data terlebih dahulu, kemudian ikuti salah satu prosedur berikut ini :

Banyak data ganjil → mediannya adalah nilai yang berada tepat di tengah gugus data
Banyak data genap → mediannya adalah rata-rata dari dua nilai data yang berada di tengah gugus data

A. Median data tunggal

Posisi median dapat ditentukan dengan menggunakan formula berikut :

dimana n = banyaknya data pengamatan.

Contoh :

Hitunglah median dari nilai ujian matematika kelas 3 SMU berikut ini: 8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7; 2; 9

Jawab:

data: 8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7; 2; 9
setelah diurutkan: 2; 4; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 8; 9
banyaknya data (n) = 10
posisi Me = ½(10+1) = 5.5
Data tengahnya: 6 dan 7
jadi Median = ½ (6+7) = 6.5 (rata-rata dari 2 data yang terletak pada urutan ke-5 dan ke-6)

Nilai Ujian	2	4	5	6	6	7	7	7	8	9
Urutan data ke-	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

B. Median dalam distribusi frekuensi

Formula untuk menentukan median dari tabel distribusi frekuensi adalah sebagai berikut :

b = batas bawah kelas median dari kelas selang yang mengandung unsur atau memuat nilai median

p = panjang kelas median

n = ukuran sampel/banyak data

f = frekuensi kelas median

F = Jumlah semua frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari kelas median (∑fi)

Contoh :

Tentukan nilai median dari tabel distribusi frekuensi pada Contoh 3 di atas!

Jawab:

Kelas ke-	Nilai Ujian	fi	fkum
1	31 - 40	2	2
2	41 - 50	3	5
3	51 - 60	5	10
4	61 - 70	13	23
5	71 - 80	24	47	←letak kelas median
6	81 - 90	21	68
7	91 - 100	12	80
8	Jumlah	80

Letak kelas median: Setengah dari seluruh data = 40, terletak pada kelas ke-5 (nilai ujian 71-80)
b = 70.5, p = 10
n = 80, f = 24
f = 24 (frekuensi kelas median)
F = 2 + 3 + 5 + 13 = 23

3. Mode (Modus)

Mode adalah data yang paling sering muncul/terjadi. Untuk menentukan modus, pertama susun data dalam urutan meningkat atau sebaliknya, kemudian hitung frekuensinya. Nilai yang frekuensinya paling besar (sering muncul) adalah modus. Modus digunakan baik untuk tipe data numerik atau pun data kategoris. Modus tidak dipengaruhi oleh nilai ekstrem. Beberapa kemungkinan tentang modus suatu gugus data :

Apabila pada sekumpulan data terdapat dua mode, maka gugus data tersebut dikatakan bimodal.
Apabila pada sekumpulan data terdapat lebih dari dua mode, maka gugus data tersebut dikatakan multimodal.
Apabila pada sekumpulan data tidak terdapat mode, maka gugus data tersebut dikatakan tidak mempunyai modus.

Meskipun suatu gugus data mungkin saja tidak memiliki modus, namun pada suatu distribusi data kontinyu, modus dapat ditentukan secara analitis.

Untuk gugus data yang distribusinya simetris, nilai mean, median dan modus semuanya sama.
Untuk distribusi miring ke kiri (negatively skewed): mean < median < modus
Untuk distribusi miring ke kanan (positively skewed): terjadi hal yang sebaliknya, yaitu mean > median > modus.

A. Modus data tunggal

Contoh :

Berapa modus dari nilai ujian matematika kelas 3 SMU berikut ini :

2, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9
2, 4, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9
2, 4, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9
2, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Jawab :

2, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9→ Nilai yang sering muncul adalah angka 7 (frekuensi terbanyak = 3), sehingga Modus (M) = 7
2, 4, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9 → Nilai yang sering muncul adalah angka 6 dan 7 (masing-masing muncul 3 kali), sehingga Modusnya ada dua, yaitu 6 dan 7. Gugus data tersebut dikatakan bimodal karena mempunyai dua modus. Karena ke-2 mode tersebut nilainya berurutan, mode sering dihitung dengan menghitung nilai rata-rata keduanya, ½ (6+7) = 6.5
2, 4, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9 → Nilai yang sering muncul adalah angka 6 dan 8 (masing-masing muncul 3 kali), sehingga Modusnya ada dua, yaitu 6 dan 8. Gugus data tersebut dikatakan bimodal karena mempunyai dua modus. Nilai mode tunggal tidak dapat dihitung karena ke-2 mode tersebut tidak berurutan
2, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9 → Nilai yang sering muncul adalah angka 5, 6 dan 7 (masing-masing muncul 2 kali), sehingga Modusnya ada tiga, yaitu 5, 6 dan 7. Gugus data tersebut dikatakan multimodal karena modusnya lebih dari dua
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 → Pada gugus data tersebut, semua frekuensi data sama, masing-masing muncul satu kali, sehingga gugus data tersebut dikatakan tidak mempunyai modusnya

B. Mode dalam distribusi frekuensi

dimana:

Mo = modal = kelas yang memuat modus

b = batas bawah kelas modal

p = panjang kelas modal

bmo = frekuensi dari kelas yang memuat modus (yang nilainya tertinggi)

b1= bmo – bmo-1 = frekuensi kelas modal – frekuensi kelas sebelumnya

b2 = bmo – bmo+1 = frekuensi kelas modal – frekuensi kelas sesudahnya

Contoh :

Tentukan nilai median dari tabel distribusi frekuensi pada Contoh 3 di atas!

Jawab:

Kelas ke-	Nilai Ujian	fi
1	31 - 40	2
2	41 - 50	3
3	51 - 60	5
4	61 - 70	13
			→ b1 = (24 – 13) = 11
5	71 - 80	24	← kelas modal (frekuensinya paling besar)
			→ b2 =(24 – 21) =3
6	81 - 90	21
7	91 - 100	12
8	Jumlah	80

Kelas modul =kelas ke-5
b = 71-0.5 = 70.5
b1 = 24 -13 = 11
b2 = 24 – 21 = 3
p = 10

LETAK DATA

Selain ukuran pemusatan data, ada juga ukuran letak data yang masih merupakan salah satu pengukuran data dalam statiska. Jika pada ukuran pemusatan data terdapat median, mean dan modus. Pada ukuran letak data terdapat kuartil, desil dan persentil. Untuk menentukan nilai ukuran letak data, data harus kita urutkan terlebih dahulu dari data nilai yang paling kecil ke data yang lebih besar.

1. Kuartil

Kuartil adalah nilai yang membagi suatu data terurut menjadi empat bagian yang sama. Kuartil dialmbangkan dengan Q . Jenis kuartil ada 3, yaitu kuartil pertama (Q1) , kuartil kedua (Q2), dan kuartil ketiga (Q3).

A. Kuartil untuk data tunggal

keterangan :

Q1 = kuartike ke-i

n = banyaknya data

Contoh :

Tentukan Q1 , Q2 dan Q3 dari data : 7,3,8,5,9,4,8,3,10,2,7,6,8,7,2,6,9

Jawab :

Data terurut : 2,2,3,3,4,5,6,6,7,7,7,8,8,8,9,9,10

n = 17

B. Kuartil untuk data berkelopmpok

Menentukan letak kuartil untuk data berkelompok dengan rumus :

keterangan :

Qi = kuartil ke-i
Tb = tepi bawah kelas kuartil
p = panjang kelas
n = banyak data
F = frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil
f = frekuensi kelas kuartil

Contoh :

Tentukan Qi dari data berikut :

Jawab :

2. Desil

Desil merupakan nilai yang membagi data menjadi sepuluh bagian sama besar. Desil sering dilambangkan dengan D. jenis ada 6, yairu D1 , D2 , D3, ….,…,…,D9.

A. Desil untuk data tunggal

keterangan :

Di = desilk e-i

n = banyaknya data

Contoh :

Tentukan desil ke-8 dari data : 6,3,8,9,5,9,9,7,5,7,4,5,8,3,7,6

Jawab :

n = 16

data terurut = 3,3,4,5,5,5,6,6,7,7,7,8,8,9,9,9

B. Desil untuk data berkelompok

keterangan :

D1 = desil ke-i

Tb = tepi bawah kelas kuartil

p = panjang kelas

n = banyak data

F = frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil

f = frekuensi kelas kuartil

Contoh :

Tentukan nilai D6 dari data berikut

Jawab :

jadi, nilai D6 adalah 21,9

3. Presentil

Persentil merupakan nilai yang membagi data menjadi serratus bagian sama besar. Persentil sering dilambangakan dengan P. jenis persentil ada 99, yaitu P1, P2, P3 … P99.

A. Data Tunggal

Keterangan :

Pi = pesentil ke-i
n = banyaknya data

Contoh :

Tentukan persentil ke-65 dari data : 6,5,8,7,9,4,5,8,4,7,8,5,8,4,5.

Jawab:

n = 15

data terurut : 4,4,4,5,5,5,5,6,7,7,8,8,8,8,9

Jadi, nilai presentil ke-65 adalah 7,4

B. Data Berkelompok

Keterangan :Pi = persentil ke-i
Tb = tepi bawah kelas persentil
p = panjang kelas
n = banyak data
F = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil
f = frekuensi kelas persentil

Contoh :

Tentukan P30 dari data berikut

Jawab :

SEBARAN DATA

Ukuran penyebaran data merupakan ukuran yang menunjukkan seberapa jauh data suatu menyebar dari rata-ratanya. Ukuran penyebaran data yang ada dalam materi statistika meliputi jangkaun, hamparan, dan kuartil.

Apa itu yang di maksud dengan jangkaun, hamparan, dan kuartil, berikut penjelasan nya :

Jangkauan (rentang) ialah selisih antara nilai data besar dan nilai data terkecil.
Hamparan atau Jangkauan Antar Kuartil (JAK) merupakan selisih antara kuartil atas $(Q_{3})$ dengan kuartil bawah $(Q_{1})$ .
Kuartil adalah pembagian sejumlah data terurut menjadi sama jumlahnya untuk setiap bagian. Setiap bagian dipisahkan oleh nilai kuartil yang meliputi kuartil bawah $(Q_{1})$ , kuartil tengah $(Q_{2})$ , dan kuartil atas $(Q_{1})$ .

A. Jangkauan atau Rentang (J)

Pada data tunggal, nilai maksimal dan minimal dapat kita diketahui dengan mudah. lalu bagaimana cara agar kita mengetahui nilai maksimal dan minimal pada data kelompok? Nilai minimal dari data kelompok didapat dari titik tengah pada kelas pertama. Tetapi nilai maksimal dari data kelompok didapat dari titik tengah pada kelas terkahir. Berikut ini adalah rumus jangkauan , Yakni :

B. Hamparan (H) atau jangkauan antar kuartil (JAK)

Kuartil bawah atau $Q_{1}$ serta nilai kuartil atas $Q_{3}$ pada data tunggal sudah dibahas melalui halaman cara mencari nilai kuartil. Demikan pula untuk nilai kuartil atas dan kuartil bawah pada data kelompok. Sehingga, nilai hamparan dari sebuah data dapat dengan mudah kita cari, Yakni :

C. Kuartil

Data kuartil merupakan data yang terbagi menjadi 4 bagian sama banyak, yang dipisahkan oleh nilai kuartil $Q_{1}$ , $Q_{2}$ , dan $Q_{3}$ .

Di bawah ini adalah ulasan mengenai data kuartil yang meliputi simpangan kuartil, rataan kuartil, rataan tiga kuartil, dan statistika lima serangkai :

a) Simpangan kuartil atau sering disebut juga dengan jangkauan semi antarkuartil merupakan nilai yang menunjukkan setengah kali dari hamparan. Didapat dengan cara mengurangkan kuartil bawah dengan kuartil atas kemudian membagi dengan 2 (dua).

b) Rataan kuartil adalah rata-rata dari kuartil atas dan kuartil bawah. Cara mendapatkan rataan kuartil adalah dengan menjumlahkan kuartil atas dan kuartil bawah kemudian membaginya dengan 2 (dua).

c) Rataan tiga kuartil adalah rata-rata dari tiga nilai kuartil yang terdiri ara kuartil atas, kuartil tengah, dan kuartil bawah. Cara mendapatkan rataan kuartil adalah dengan menjumlahkan ketiga kuartil kemudian membaginya dengan 2 (dua).

d) Sedangkan statistika merupakan data yang terdiri atas lima nilai, yaitu nilai tertinggi $(x_{max})$ , nilai terendah $(x_{min})$ , kuartil atas $(Q_{1})$ , kuartil tengah $(Q_{2})$ , dan kuartil bawah $(Q_{3})$ .

Kesimpulan dari simpangan kuartil, rataan kuartil, rataan tiga kuartil, dan statistika lima serangkai dapat disimak pada tabel di bawah :

Contoh :

Jawab :

Kuartil bawah = $Q_{1}$
Kuartil atas = $Q_{3}$

Jumlah datanya adalah :

4+6+8+10+8+4 = 40

Letak kuartil bawah berada di $\frac{1}{4}$ bagian data dan letak kuartil atas berada di $\frac{3}{4}$ bagian data.

$= \frac{1}{4} \times 40$

$= 10$

Letak kuartil atas:

$= \frac{3}{4} \times 40$

$= 30$

Simak tabel yang sudah kami dilengkapi dengan frekuensi komulatif kurang dari (fkk) serta letak kuartil bawah dan kuartil atas

Cara mencari nilai kuartil bawah :

Cara mencari kuartil atas :

Cara mencari nilai hamparan (H) atau jangakaun atar kuartil :

Demikian pembahasan-pembahasan mengenai ukuran pemusatan data, letak data dan penyebaran data. Semoga pembahasan diatas dapat bermanfaat untuk teman-teman…

Statistik Blog

Selasa, 15 Oktober 2019

Ukuran Pemusatan, Letak, dan Sebaran Data